Chọn B

PT hoành đồ giao điểm của (C) và trục hoành:

x3 + 3x2 + mx + m - 2 = 0     (1) 

(Cm)  có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Ox 

PT (1) có 3 nghiệm phân biệt 

 (2) có 2 nghiêm phân biệt khác -1 

Đạo hàm  y’ = 3x²+6x+m. Ta có  ∆ ' y ' = 9 - 3 m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3  

Ta có 

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó 

Theo định lí Viet, ta có 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂<0

Chọn C.

kho nhu bay len mat troi

gợi ý :

Tìm giá trị của \(m\) để hàm số có cực đại ,cực tiểu .

Ta có \(y'=3x^2-6mx=0\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\x=2m\end{cases}\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m khác 0

Giả sử hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left(0;4m^3\right),B\left(2m;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2m;-4m^2\right)\)

Trung điểm của đoạn AB là \(I\left(m;2m^3\right)\)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y=x là AB vuông góc với đường thẳng y=x và I thuộc đường thẳng y=x

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2m-4m^3=0\\3m^3=m\end{cases}\)

Kết hợp với điều kiện ta có : \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Giải ra ta có \(m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2};m=0\)

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu :

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2-3.9>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là \(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\), ta có điêu kiện cần là 

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Khi m=1 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x+5. Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là 

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiể là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\)=> m=1

Khi m=-3 suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2-11

=> m=-3 không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài

Dựa vào bảng biến thiên phần b) ta có :

C m  có cực đại, cực tiểu ⇔ m > 0

+ Hàm số có điểm cực đại là x = -1

Vậy với  thì hàm số có điểm cực đại là x = -1.